题目内容

已知数列{an}满足a1=2 ，an+1=3an+3n+1-2n (n∈N*)．
（1）设bn=
an-2n
3n
，证明：数列{bn}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
（1）证明：∵bn+1-bn=
an+1-2n+1
3n+1
-
an-2n
3n
=
3an+3n+1-2n-2n+1
3n+1
-
an-2n
3n
=1，…（2分）
∴{bn}为等差数列．
又b1=0，∴bn=n-1．…（4分）
∴an=(n-1)•3n+2n．…（6分）
（2）设Tn=0•31+1•32+…+(n-1)•3n，则
3Tn=0•32+1•33+…+(n-1)•3n+1．
∴两式相减可得-2Tn=32+…+3n-(n-1)•3n+1=
9(1-3n-1)
1-3
-(n-1)•3n+1．…（10分）
∴Tn=
9-3n+1
4
+
(n-1)•3n+1
2
=
(2n-3)•3n+1+9
4
．
∴Sn=Tn+(2+22+…+2n)=
(2n-3)3n+1+2n+3+1
4
．   …（14分）
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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