Question

（上海春卷22）已知是实系数方程的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为.

（1）若在直线上，求证：在圆：上；

（2）给定圆：（，），则存在唯一的线段满足：①若在圆上，则在线段上；② 若是线段上一点（非端点），则在圆上. 写出线段的表达式，并说明理由；

（3）由（2）知线段与圆之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中是（1）中圆的对应线段）.

线段与线段的关系	的取值或表达式
所在直线平行于所在直线
所在直线平分线段
线段与线段长度相等

Answer 1

[证明]（1）由题意可得 ，解方程，得

，                                             …… 2分

     点或，

将点代入圆的方程，等号成立，   

 在圆：上.  

（2）[解法一] 当，即时，解得，

     点或，                    

    由题意可得，整理后得 ，     …… 6分

，，   

.                                         

     线段为： ，.          

若是线段上一点（非端点），则实系数方程为

.

此时，且点、在圆上. …10分

      [解法二] 设是原方程的虚根，则，

解得

    由题意可得，.      ③

    解①、②、③ 得 .                                …… 6分

   以下同解法一.

[解]（3）表一

线段与线段的关系	的取值或表达式	得分
所在直线平行于所在直线	，	12分
所在直线平分线段	，	15分
线段与线段长度相等		18分