Question

设函数f（x）=axⁿ⁺¹+bxⁿ+c（x＞0），其中a+b=0，n为正整数，a，b，c均为常数，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y-1=0．
（1）求a，b，c的值；
（2）求函数f（x）的最大值；
（3）证明：对任意的x∈（0，+∞）都有nf(x)＜

1

e

．（e为自然对数的底）

Answer 1

分析：（1）利用a+b=0，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y-1=0，可求a，b，c的值；
（2）求导数，确定函数在（0，+∞）上的单调性，可求函数的最大值；
（3）要证对任意的x∈（0，+∞）都有nf(x)＜

1

e

，只需证f(x)＜

1

ne

，由（2）知在（0，+∞）上f（x）有最大值，f(x)max=

nn

(n+1)n+1

，故只需证

nn

(n+1)n+1

＜

1

ne

．

解答：（1）解：∵a+b=0，∴f（1）=a+b+c=c．
由点（1，c）在直线x+y=1上，可得1+c=1，即c=0．----（1分）
∵f'（x）=a（n+1）xⁿ+bnx^n-1，∴f'（1）=（a+b）n+a=a．（2分）
又∵切线x+y=1的斜率为-1，∴a=-1，
∵a+b=0，∴b=1，
∴a=-1，b=1，c=0．（3分）
（2）解：由（1）知，f（x）=-xⁿ⁺¹+xⁿ，故f′(x)=(n+1)xn-1(

n

n+1

-x)．（4分）
令f′（x）=0，解得x=

n

n+1

，即f′（x）在（0，+∞）上有唯一零点x=

n

n+1

．（5分）
当0＜x＜

n

n+1

时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，

n

n+1

）上单调递增； （6分）
当x＞

n

n+1

时，f′（x）＜0，故f（x）在（

n

n+1

，+∞）单调递减．（7分）
∴f（x）在（0，+∞）上的最大值f（x）_max=f（

n

n+1

）=(

n

n+1

)n(1-

n

n+1

)=

nn

(n+1)n+1

．-----------------（8分）
（3）证明：要证对任意的x∈（0，+∞）都有nf(x)＜

1

e

，只需证f(x)＜

1

ne

，
由（2）知在（0，+∞）上f（x）有最大值，f(x)max=

nn

(n+1)n+1

，故只需证

nn

(n+1)n+1

＜

1

ne

-----（9分）
即(

n

n+1

)^n+1，即ln

n

n+1

+

1

n+1

＜0，①（10分）
令

n

n+1

=t，(0＜t＜1)，则

1

n+1

=1-t，①即lnt-t+1＜0，②（11分）
令g（t）=lnt-t+1，（0＜t＜1），则g′(t)=

1

t

-1=

1-t

t

，（12分）
显然当0＜t＜1时，g'（t）＞0，所以g（t）在（0，1）上单调递增，
∴g（t）＜g（1）=0，即对任意的0＜t＜1②恒成立，
∴对任意的x∈（0，+∞）都有nf(x)＜

1

e

．（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查不等式的证明，综合性强，有难度．