Question

已知f(x)=

x 2 ，x≥0 x2，x＜0

则f（f（x））＞1的解集是

(-∞，-

2

)∪(4，+∞)

．

Answer 1

分析：分两种情况考虑：当x大于等于0时，根据分段函数解析式可得f（x）=

x

2

，化简所求不等式的左边，再根据

x

2

也大于等于0，再根据f（x）=

x

2

，可把所求不等式化为关于x的一元一次不等式，求出不等式的解集与x大于等于0求出交集，即为原不等式的解集；当x小于0时，根据分段函数解析式得出f（x）=x²，而x²大于0，再根据f（x）=

x

2

，可把所求不等式化为关于x的一元二次不等式，分解因式后，根据两数相乘积大于0，可得两因式同号，转化为两个不等式组，求出不等式组的解集，与x小于0求出交集，即为原不等式的解集，综上，求出两解集的并集即可得到所求不等式的解集．

解答：解：当x≥0时，f（x）=

x

2

，
∵

x

2

≥0，
∴f（f（x））=f（

x

2

）=

x

4

，
所求不等式化为

x

4

＞1，
解得x＞4，
此时原不等式的解集为（4，+∞）；
当x＜0时，f（x）=x²，
∵x²＞0，
∴f（f（x））=f（x²）=

x2

2

，
所求不等式可化为

x2

2

＞1，即（x+

2

）（x-

2

）＞0，
可化为

x+ 2 ＞0 x- 2 ＞0

或

x+ 2 ＜0 x- 2 ＜0

，
解得：x＞

2

或x＜-

2

，
此时原不等式的解集为（-∞，-

2

），
综上，原不等式的解集为(-∞，-

2

)∪(4，+∞)．
故答案为：(-∞，-

2

)∪(4，+∞)

点评：此题考查了其他不等式的解法，分段函数的解析式，一元二次不等式的解法，利用了转化及分类讨论的思想，是高考中常考的基本题型．