题目内容
有人玩掷硬币走跳棋的游戏,已知硬币出现正反面的概率都是
,棋盘上标有第0站,第1站,…,第100站.一枚棋子开始在第0站,棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次,若掷出正面,棋子向前跳一站(从第k站到第k+1站),若掷出反面,棋子向前跳两站(从第k站到第k+2站),直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或跳到第100站(失败集中营)时,该游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为Pn.(1)求P0,P1,P2的值;
(2)求证:Pn-Pn-1=-
(P n-1-Pn-2),其中n∈N,2≤n≤99；
(3)求P99及P100的值.
(1)解:∵棋子开始站在第0站,属必然事件,
∴P0=1.硬币出现正面(P=
),棋子向前跳一站,
∴P1=
.
棋子在第二站有两种情况:
第一种情况硬币出现反面,跳两步到第二站,P=
;
第二种情况向前跳两次,P=
·
=
.
∴P2=
.
(2)证明:棋子跳到第n站有两种情况:
①棋子在第n-1站后,再掷出一个正面到第n站,即
Pn-1;
②棋子在第n-2站后,再掷出一个反面到第n站,即
Pn-2.Pn=
P n-1+
P n-2,
∴Pn-P n-1=-
(P n-1-P n-2).
(3)解:{Pn-P n-1}构成以P1-P0为首项,-
为公比的等比数列,
∴Pn-P n-1=(-
)n.
∴P n-1-P n-2=(-
)n-1.
……
P1-P0=-
·
将上列各式左右两边分别相加,得
Pn-P0=(-
)+(-
)2+…+(-
)n=
.
∴Pn=1-
·(-
)n,
P99=
-
·
,P98=
+
·
.
若跳到99站,则已胜利,不再往前跳,
∴只有从98站跳两站到100站,P100=
+
·
.
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，棋盘上标有第0站，第1站，…，第100站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站（从n到n+1），若掷出反面，棋子向前跳两站（从n到n+2），直到棋子跳到第99站（胜利大本营），或跳到第100站（失败集中营）时该游戏结束，设棋子跳到第n站的概率为P（n）；
（Pn-1-Pn-2），其中n∈N，2≤n≤99；