Question

已知函数f(x)=x³+ax²-bx+1(x∈ R，a、b为实数)，
(1)若函数f(x)有极值，且在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行，求实数a的取值范围；
(2)若y=f(x)在区间[-1，2]上是单调减函数，求a+b的最小值．

Answer 1

解：(1)∵f(x)=x³+ax²-bx+1(x∈R，a、b为实数)，
∴，
∵，
∴b=2a，①
∵f(x)有极值，故方程有两个不等的实根，
∴，∴，②
由①、②可得，a²+2a＞0，∴a＜-2或a＞0，
故实数a的取值范围是(-∞，-2)∪(0，+∞)。
(2)∵y=f(x)在区间[-1，2]上是单调减函数，
∴在区间[-1，2]上恒成立，
即f′(-1)≤0且f′(2)≤0，
即1-2a-b≤0且4+4a-b≤0，
数形结合得a+b的最小值为。