Question

已知函数f(x)=cos(2x-

2π

3

)-cos2x（x∈R ）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）△ABC内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f(

B

2

)=-

3

2

，b=1，c=

3

，且a＞b，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简，结合正弦函数的周期公式、单调性求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）解法一：利用f(

B

2

)=-

3

2

，求出B的值，利用余弦定理求出a的值，即可判定三角形的形状．
解法二：利用f(

B

2

)=-

3

2

，求出B的值，利用正弦定理求出C的值，即可判定三角形的形状．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=cos(2x-

2π

3

)-cos2x=

3

2

sin2x-

3

2

cos2x=

3

sin(2x-

π

3

)，
∴．故函数f（x）的最小正周期为π；递增区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（n∈N^*Z ）…（6分）
（Ⅱ）解法一：f(

B

2

)=

3

sin(B-

π

3

)=-

3

2

，
∴sin(B-

π

3

)=-

1

2

．
∵0＜B＜π，∴-

π

3

＜B-

π

3

＜

2π

3

，
∴B-

π

3

=-

π

6

，即B=

π

6

．…（9分）
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，∴1=a2+3-2×a×

3

×

3

2

，即a²-3a+2=0，
故a=1（不合题意，舍）或a=2．…（11分）
因为b²+c²=1+3=4=a²，所以△ABC为直角三角形．…（12分）
解法二：f(

B

2

)=

3

sin(B-

π

3

)=-

3

2

，
∴sin(B-

π

3

)=-

1

2

．
∵0＜B＜π，∴-

π

3

＜B-

π

3

＜

2π

3

，
∴B-

π

3

=-

π

6

，即B=

π

6

．…（9分）
由正弦定理得：

a

sinA

=

1

sin π 6

=

3

sinC

，
∴sinC=

3

2

，
∵0＜C＜π，∴C=

π

3

或

2π

3

．
当C=

π

3

时，A=

π

2

；当C=

2π

3

时，A=

π

6

．（不合题意，舍）        …（11分）
所以△ABC为直角三角形．…（12分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，三角函数的单调性，周期，三角形的形状的判定，正弦定理、余弦定理的应用，注意条件a＞b的应用，是易错点．