Question

已知函数f(x)=

1+a•2x

2x+b

是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的值域；
（3）证明函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，并写出f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：法一：（1）由函数f(x)=

1+a•2x

2x+b

是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），知

f(1)=3 f(-1)=-3

，由此能求出a，b．
（2）由f（x）=

1+2x

2x-1

=1+

2

2x-1

，知2^x-1＞-1，且2^x-1≠0，知

2

2x-1

＜-2，或

2

2x-1

＞0，由此能求出f（x）的值域．
（3）在（0，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，利用定义法能证明函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，再由函数f（x）是奇函数，能求出f（x）的单调减区间．
法二：（1）由f（x）是奇函数，知

1+a•2x

2-x+b

+

1+a•2x

2x +b

=0，由此能求出a，b．
（2）由y=f（x）=

1+2x

2x-1

，知2x=

y+1

y-1

＞0，由此能求出f（x）的值域．
（3）在（0，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，利用定义法能证明函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，再由函数f（x）是奇函数，能求出f（x）的单调减区间．

解答：解法一：（1）：函数f(x)=

1+a•2x

2x+b

是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），
∴

f(1)=3 f(-1)=-3

，（3分）即

1+2a 2+b =3 1+ a 2 1 2 +b =-3

，（4分）
解得a=1，b=-1．经检验f（x）为奇函数，
故a=1，b=-1．（5分）
（2）∵a=1，b=-1．
∴f（x）=

1+2x

2x-1

=1+

2

2x-1

，（7分）
∵2^x＞0，
∴2^x-1＞-1，且2^x-1≠0，∴

2

2x-1

＜-2，或

2

2x-1

＞0，
∴f（x）＜-1，或f（x）＞1．
∴f（x）的值域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．（10分）
（3）在（0，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=

1+2x2

2x2-1

-

1+2x1

2x1-1

=

2(2x1-2x2)

(2x2-1)(2x1-1)

，
∵0＜x₁＜x₂，
∴2x2-1＞0，2x1-1＞0，2x1-2x2＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减
∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）在（-∞，0）上也是递减，（15分）
∴f（x）的单调减区间为（-∞，0），（0，+∞）．（16分）  
解法二：（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即

1+a•2x

2-x+b

+

1+a•2x

2x +b

=0，
得（ab+1）•2^2x+2（a+b）•2^x+ab+1=0，
∴

ab+1=0 a+b=0

，得

a=1 b=-1

，或

a=-1 b=1

，…（3分）
又∵f（1）=3，∴

1+2a

2+b

=3，即2a-3b=5，
∴a=1，b=-1．…（5分）
（2）∵a=1，b=-1，∴y=f（x）=

1+2x

2x-1

，∴2x=

y+1

y-1

，（7分）
∵2^x＞0，∴

y+1

y-1

＞0，解得y＜-1，或y＞1．
∴f（x）的值域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．（10分）
（3）在（0，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=

1+2x2

2x2-1

-

1+2x1

2x1-1

=

2(2x1-2x2)

(2x2-1)(2x1-1)

，
∵0＜x₁＜x₂，
∴2x2-1＞0，2x1-1＞0，2x1-2x2＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减
∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）在（-∞，0）上也是递减，（15分）
∴f（x）的单调减区间为（-∞，0），（0，+∞）．（16分）

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查函数的值域的求法，考查函数的单调性的判断．解题时要认真审题，注意待定系数法、分离常数法、定义法和等价转化思想、函数奇偶性的合理运用．