Question

已知数列{a_n}是首项a1=

1

3 3

，公比q=

1

3 3

的等比数列，设b_n+15log₃a_n=t，常数t∈N^*，数列{c_n}满足c_n=a_nb_n．
（1）求证：{b_n}是等差数列；
（2）若{c_n}是递减数列，求t的最小值；
（3）是否存在正整数k，使c_k，c_k+1，c_k+2重新排列后成等比数列？若存在，求k，t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由题意知，an=(

1

3 3

)n，（1分）
因为bn+1-bn=-15log3(

an+1

an

)=5，b₁=-15log₃a₁+t=t+5
∴数列b_n是首项为b₁=t+5，公差d=5的等差数列．（4分）
（2）由（1）知，b_n=5n+t，cn=(5n+t)(

1

3 3

)n，cn+1-cn=(

5n+5+t

3 3

-5n-t)(

1

3 3

)n＜0恒成立，即t＞-5n+

5

3 3 -1

恒成立，（7分）
因为f(n)=-5n+

5

3 3 -1

是递减函数，
所以，当n=1时取最大值，f(n)max=-5+

5

3 3 -1

≈6.3，（9分）
因而t＞6.3，因为t∈N，所以t=7．（10分）
（3）记5k+t=x，ck=(5k+t)(

1

3 3

)k=x(

1

3 3

)k，ck+1=(5k+5+t)(

1

3 3

)k+1=(x+5)(

1

3 3

)k+1，ck+2=(5k+10+t)(

1

3 3

)k+2=(x+10)(

1

3 3

)k+2．
①若c_k是等比中项，则由c_k+1•c_k+2=c_k²得(x+5)(

1

3 3

)k+1•(x+10)(

1

3 3

)k+2=x2(

1

3 3

)2k化简得2x²-15x-50=0，解得x=10或x=-

5

2

（舍），（11分）
所以5n+t=10，因而

k=1 t=5

及

k=2 t=0

．
又由常数t∈N^*，则

k=2 t=0

舍去，
②若c_k+1是等比中项，则由c_k•c_k+2=c_k+1²得x(

1

3 3

)k•(x+10)(

1

3 3

)k+2=(x+5)2(

1

3 3

)2k+2
化简得x（x+10）=（x+5）²，显然不成立．（16分）
③若c_k+2是等比中项，则由c_k•c_k+1=c_k+2²得x(

1

3 3

)k•(x+5)(

1

3 3

)k+1=(x+10)2(

1

3 3

)2k+4
化简得2x²-5x-100=0，因为△=5²+4×2×100=25×33不是完全不方数，因而x的值是无理数，显然不成立．
则符合条件的k、t的值为

k=1 t=5

．（18分）