题目内容

椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=(
b
2
+c)2（c为椭圆半焦距）有四个不同交点，则离心率的取值范围是（　　）
分析：联立椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=(
b
2
+c)2，消去y2，可得
c2
a2
x2= (
b
2
+c)2-b2，根据椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=(
b
2
+c)2（c为椭圆半焦距）有四个不同交点，可知方程有两个不等的根，结合椭圆的范围，即可求得离心率的取值范围．
解答：解：联立椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=(
b
2
+c)2，消去y2，可得
c2
a2
x2= (
b
2
+c)2-b2
∵椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=(
b
2
+c)2（c为椭圆半焦距）有四个不同交点，
∴0＜x2＜a2
∴0＜
c2
a2
x2＜ c2
∴0＜(
b
2
+c)2-b2＜c2
∴
3
4
c＜b＜2c
∴
9
16
c2＜b2＜4c2
∴
9
16
c2＜a2-c2＜4c2
∴
25
16
c2＜a2 ＜5c2
∴
5
5
＜e＜
3
5

故选A．
点评：本题考查的重点是椭圆的几何性质，解题的关键是将椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=(
b
2
+c)2（c为椭圆半焦距）联立，利用有四个不同交点，结合0＜x2＜a2，从而使问题得解，综合性强．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，求证：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF1的中点，求证：∠ATM=∠AF1T．
设 A（x1，y1）、B（x2，y2）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的两点，O为坐标原点，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A点坐标为（a，0），求点B的坐标；
（2）设
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，证明点M在椭圆上；
（3）若点P、Q为椭圆 上的两点，且
PQ
∥
OB
，试问：线段PQ能否被直线OA平分？若能平分，请加以证明；若不能平分，请说明理由．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．

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