Question

已知函数f(x)=|x-a|-

a

2

lnx，a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）有两个零点x₁，x₂，（x₁＜x₂），求证：1＜x₁＜a＜x₂＜a²．

Answer 1

分析：（1）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．
（2）由（1）知，当a≤0时，函数f（x）单调递增，函数至多只有一个零点，不合题意；则必有a＞0，此时函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞），进一步得出x₁∈（1，a）和x₂∈（a，a²），从而得出答案．

解答：解：（1）由题意，函数的定义域为（0，+∞），
当a≤0时，f(x)=|x-a|-

a

2

lnx=x-a-

a

2

lnx，f′(x)=1-

a

2x

＞0，
函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），…3分
当a＞0时，f(x)=|x-a|-

a

2

lnx=

x-a- a 2 lnx  ，x≥a a-x- a 2 lnx，  0＜x＜a

，…5分
若x≥a，f′(x)=1-

a

2x

=

2x-a

2x

＞0，此时函数f（x）单调递增，
若x＜a，f′(x)=-1-

a

2x

＜0，此时函数f（x）单调递减，
综上，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞）． …7分
（2）由（1）知，当a≤0时，函数f（x）单调递增，
此时函数至多只有一个零点，不合题意；                      …8分
则必有a＞0，此时函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞），
由题意，必须f(a)=-

a

2

lna＜0，解得a＞1，…10分
由f(1)=a-1-

a

2

ln1=a-1＞0，f（a）＜0，
得x₁∈（1，a），…12分
而f（a²）=a²-a-alna=a（a-1-lna），
下面证明：a＞1时，a-1-lna＞0
设g（x）=x-1-lnx，x＞1
则g′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

＞0，
所以g（x）在x＞1时递增，则g（x）＞g（1）=0，
所以f（a²）=a²-a-alna=a（a-1-lna）＞0，
又f（a）＜0，
所以x₂∈（a，a²），
综上，1＜x₁＜a＜x₂＜a²．                     …16分

点评：本题考查了函数的单调性、根的存在性及根的个数判断．利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．