Question

（2009•宁波模拟）设f（x）=

2x2

x+1

，g（x）=asin

πx

2

+5-2a（a＞0），若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，则a的取值范围是

[

5

2

，4]

．

Answer 1

分析：先对函数f（x）分x=0和x≠0分别求函数值，综合可得其值域，同样求出函数g（x）的值域，把两个函数的函数值相比较即可求出a的取值范围．

解答：解：因为f（x）=

2x2

x+1

，
当x=0时，f（x）=0，
当x≠0时，f（x）=

2

1 x +  1 x2

=

2

( 1 x + 1 2 ) 2- 1 4

，由0＜x≤1，
∴0＜f（x）≤1．
故0≤f（x）≤1
又因为g（x）=asin

πx

2

+5-2a（a＞0），且g（0）=5-2a，g（1）=5-a．
故5-2a≤g（x）≤5-a．
所以须满足

5-2a≤0 5-a≥1

⇒

5

2

≤a≤4．
故答案为：[

5

2

，4]．

点评：本题主要考查函数恒成立问题以及函数值域的求法，是对知识点的综合考查，属于中档题．