Question

已知．

(1) 求函数在上的最小值；

(2) 对一切，恒成立，求实数a的取值范围；

(3) 证明：对一切，都有成立．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）构造函数，利用导数证明

【解析】

试题分析：(1)由题意知，

当，，单调递减，

当，，单调递增． 

① ，t无解；

② ，即时，；

③ ，即时，在上单调递增，；

所以．                                          ……4分

(2) ，则，

设，则，

，，单调递减，

，，单调递增，

所以．

因为对一切，恒成立，所以．                                                        ……9分

（3）问题等价于证明，

由⑴可知的最小值是，当且仅当时取到．　

设，则，

易得，当且仅当时取到，

从而对一切，都有成立．                          ……14分

考点：本小题主要考查利用导数求最值，恒成立问题和构造函数证明不等式.

点评：恒成立问题一般转化为最值解决，而证明不等式时，一般会构造新函数，利用导数研究函数的单调性，最值等，进而证明不等式.