Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=BC=2，AB=，CC₁=4，M是棱CC₁上一点．
（Ⅰ）求证：BC⊥AM；
（Ⅱ）若M，N分别是CC₁，AB的中点，求证：CN∥平面AB₁M；
（Ⅲ）若，求二面角A-MB₁-C的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴CC₁⊥BC． …（1分）
∵AC=BC=2，AB=2，
∴△ABC中，AC²+BC²=8=AB²，可得BC⊥AC． …（2分）
∵AC∩CC₁=C，∴BC⊥平面ACC₁A₁． …（3分）
∵AM?平面ACC₁A₁，
∴BC⊥AM． …（4分）
（Ⅱ）连接A₁B交AB₁于P． …（5分）
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形AA₁B₁B是平行四边形
∴P是A₁B的中点．
又∵M，N分别是CC₁，AB的中点，
∴NP∥CM，且NP=CM，
∴四边形MCNP是平行四边形，可得CN∥MP． …（7分）
∵CN?平面AB₁M，MP?平面AB₁M，…（8分）
∴CN∥平面AB₁M． …（9分）
（Ⅲ）∵BC⊥AC，且CC₁⊥平面ABC，
∴以C为原点，CA，CB，CC₁分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-xyz．
由C₁M=，得C（0，0，0），A（2，0，0），B₁（0，2，4），M（0，0，），
∴向量=（-2，0，），=（0，-2，-）． …（10分）
设平面AMB₁的法向量=（x，y，z），则•=0，•=0．
即 …（11分）
令x=5，则y=-3，z=4，即=（5，-3，4），
又平面MB₁C的一个法向量是=（2，0，0），
∴cos＜，＞==． …（12分）
由图可知二面角A-MB₁-C为锐角，
∴二面角A-MB₁-C的大小为． …（14分）
分析：（1）△ABC中，根据勾股定理的逆定理得BC⊥AC，结合直三棱柱中CC₁⊥BC，可得BC⊥平面ACC₁A₁，从而得到BC⊥AM．
（2）连接A₁B交AB₁于P，根据平行四边形AA₁B₁B的性质，结合三角形中位线定理，可得NP与CM平行且相等，从而四边形MCNP是平行四边形，可得CN∥MP，再结合线面平行的判定定理，得到CN∥平面AB₁M．
（3）以C为原点，CA，CB，CC₁分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，根据题意得到C、A、、B₁、M各点的坐标，从而得到向量、的坐标，再利用垂直向量数量积为零的方法，列方程组可求出平面AMB₁的法向量=（5，-3，4），结合平面MB₁C的一个法向量=（2，0，0），利用空间两个向量的夹角公式，得到与的夹角，即得二面角A-MB₁-C的大小．
点评：本题以一个特殊的直三棱柱为例，叫我们证明线面垂直和线面平行，并求二面角的大小．着重考查了空间线面平行、垂直位置关系的判定与性质，以及利用空间坐标系求平面与平面所成角的大小等知识，属于中档题．