题目内容
已知函数f(x)=x2－x＋alnx
(1)当x≥1时，f(x)≤x2恒成立，求a的取值范围；
(2)讨论f(x)在定义域上的单调性；
（1）a≤e（2）（1）当△=1－8a≤0，a≥
时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在（0，+∞）上为增函数．-----9分
（2）当a＜时
①当0＜a＜时， 
f(x)在
上为减函数，
f(x)在
上为增函数． -------------11分
②当a=0时，f(x)在（0，1]上为减函数，f(x)在[1，＋∞）上为增函数． --13分
③当a＜0时，
，故f(x)在（0，
]上为减函数，
f(x)在[，＋∞）上为增函数． ------------ 15分
解析:
由 f(x)≤x2恒成立,得:alnx≤x在x≥1时恒成立
当x＝1时a∈R -----------------------------------------------2分
当x＞1时即
，令
,
----------4分
x≥e时g’(x)≥0 ,g(x)在x＞e时为增函数， g(x)在x＜e时为减函数
∴gmin(x)＝e ∴a≤e ---------------------------------------7分
(2)解：f(x)=x2－x＋alnx，f′(x)=2x－1＋
=
，x＞0
（1）当△=1－8a≤0，a≥
时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在（0，+∞）上为增函数．-----9分
（2）当a＜时
①当0＜a＜时， 
f(x)在
上为减函数，
f(x)在
上为增函数． -------------11分
②当a=0时，f(x)在（0，1]上为减函数，f(x)在[1，＋∞）上为增函数． --13分
③当a＜0时，
，故f(x)在（0，
]上为减函数，
f(x)在[，＋∞）上为增函数． ------------ 15分
