Question

若双曲线以椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的长轴的两个端点为焦点，且经过点（4

2

，3），求双曲线的标准方程，并求出它的离心率和渐近线方程．

Answer 1

椭圆

x2

25

+

y2

9

=1长轴的两个端点坐标为（-5，0），（5，0），…（1分）
所以所求双曲线的焦点为F₁（-5，0），F₂（5，0），
设所求双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，…（2分）
∴a²+b²=25①…（3分）
又双曲线经过点（4

2

，3），所以有

32

a2

-

9

b2

=1②…（4分）
由①②解得a²=16，b²=9                              …（8分）
∴所求双曲线的方程为

x2

16

-

y2

9

=1．        
∵a²=16，b²=9∴c²=7                     
∴e=

c

a

=

7

4

，
渐近线方程：y=±

3

4

x                                …（12分）