Question

在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若A+C≤2B.探索下列问题

(1)角B的范围确定了吗?

(2)a、b、c成等差数列吗?

(3)请你给出一个n的值,使不等式aⁿ+cⁿ≤2bⁿ成立或不成立,并证明你的结论.

Answer 1

解:(1)∵A+B+C=π,又A+C≤2B,

∴π-B≤2B,即B≥.

(2)由正弦定理有

2b-(a+c)=2R［2sinB-(sinA+sinC)］

=2R(4sincos-2sincos)

=4Rcos(2sin-cos).

∵≤B＜π,∴≤＜.

∴cos＞0,2sin≥2sin=1.

而cos≤1,

∴2b-(a+c)≥0,即a+c≤2b.

故当2sin=1,且cos=1,

即△ABC为正三角形时,a,b,c成等差数列,其他各种情况下a,b,c都不成等差数列.

(3)当n=2时,不等式成立,即有a²+c²≤2b².

由余弦定理有b²=a²+c²-2accosB.

∴2b²-(a²+c²)=a²+c²-4accosB≥2ac-4accosB=2ac(1-2cosB).

∵≤B＜π,∴-1＜cosB≤.

∴1-2cosB≥0.

∴2b²-(a²+c²)≥0,即a²+c²≤2b².

当n=5时,不等式不成立.

例如取A=,B=,则有

()⁵=()⁵=()⁵＞2.

∴()⁵+()⁵＞2,即a⁵+c⁵＞2b⁵.

这说明此时a⁵+c⁵≤2b⁵不能成立.