Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为正方形，AD=PD=2，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点．
（I）求证：AP∥平面EFG；
（II）求平面GEF和平面DEF的夹角．

Answer 1

分析：（I）先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标以及向量AP和平面EFG的法向量的坐标，计算其数量积为0即可得到结论；
（II）分别求出两个平面的法向量，再直接代入向量的夹角计算公式即可得到答案．

解答：解：（I）如图，以D为原点，以DA，DC，DP为方向向量
建立空间直角坐标系D-XYZ
则P（0，0，2），C（0，2，0）G（1，2，0），E（0，1，1），F（0，0，1），A（2，0，0）
∴

AP

=（-2，0，2），

EF

=（0，-1，0），

EG

=（1，1，-1）．
设平面EFG的法向量为

n

=（x，y，z）?
∴

n • EF =0 EG • n =0

即

-y=0 x+y-z=0

∴

x=z y=0

 令x=1，
则

n

=（1，0，1）．
∵

n

•

AP

=1×（-2）+0×0+1×2=0，
∴

AP

⊥

n

又AP不在平面EFG内，
∴AP∥平面EFG
（II）∵底面ABCD是正方形，∴AD⊥BC
又PD⊥平面ABCD
∴AD⊥PD又PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD．
∴向量

DA

是平面PCD的一个法向量，

DA

=（2，0，0）
又由（I）知平面EFG的法向量

n

=（1，0，1）．
∴cos＜

n

，

DA

＞=

DA • n

| n |•| DA |

=

2

2 2

=

2

2

．
∴二面角G-EF-D的平面角为45°．

点评：本题主要考察利用空间向量求两平面间的夹角以及向量在判断直线和平面平行中的应用问题．是对基础知识的考察，属于综合题．