Question

已知函数f（x）=cos²x-sin²x+2

3

sinxcosx+1．将f（x）的图象向左平移

π

6

个单位，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）单调递增区间为（　　）

• A．[kπ-

  π

  3

  ，kπ+

  π

  6

  ]，k∈Z
• B．[kπ-

  5π

  12

  ，kπ+

  π

  12

  ]，k∈Z
• C．[kπ-

  π

  2

  ，kπ]，k∈Z
• D．[kπ-

  π

  6

  ，kπ+

  π

  3

  ]，k∈Z

Answer 1

分析：利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式，再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性求得g（x）单调递增区间．

解答：解：函数f（x）=cos²x-sin²x+2

3

sinxcosx+1=cos2x+

3

sin2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1，
将f（x）的图象向左平移

π

6

个单位，得到函数y=2sin[2（x+

π

6

）+

π

6

]+1=2cos2x+1，
故有g（x）=2cos2x+1．
令 2kπ-π≤2x≤2kπ，求得 kπ-

π

2

≤x≤kπ，k∈z，
故g（x）单调递增区间为[kπ-

π

2

，kπ]，k∈Z，
故选C．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．