题目内容

已知函数f(x)=5sinxcosx+5
3
cos2x-
5
3
2
；
（Ⅰ）确定函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）当函数f（x）取得最大值时，求自变量x的集合．
分析：（Ⅰ）根据两角和的正弦公式将解析式化为f(x)=5sin(2x+
π
3
)，再根据正弦函数的增区间，求出函数的增区间；
（Ⅱ）根据（I）和正弦函数的最大值，令2x+
π
3
=
π
2
+2kπ求x的表达式，即所求的集合．
解答：解：（Ⅰ）由题意知，f(x)=
5
2
sin2x+
5
3
2
(1+cos2x)-
5
3
2
=
5
2
sin2x+
5
3
2
cos2x
=5(
1
2
sin2x+
3
2
cos2x)=5sin(2x+
π
3
)．
由2kπ-
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
π
2
解得，kπ-
5π
12
≤x≤kπ+
π
12
，（k∈z）
∴f（x） 的单调增区间为[kπ-
5π
12
，kπ+
π
12
]，(k∈Z)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=5sin(2x+
π
3
)，
当2x+
π
3
=
π
2
+2kπ时，即x=kπ+
π
12
，k∈Z 时，f（x）max=5，
此时自变量x的集合是{x|x=kπ+
π
12
，k∈Z}．
点评：本题考查了形如y=sin（ωx+φ）的函数性质，主要利用两角和、差的正弦公式对解析式进行化简，利用“整体思想”和正弦函数的性质进行求解．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=5-
6x
，数列{an}满足：a1=a，an+1=f（an），n∈N*．
（1）若对于n∈N*，均有an+1=an成立，求实数a的值；
（2）若对于n∈N*，均有an+1＞an成立，求实数a的取值范围；
（3）请你构造一个无穷数列{bn}，使其满足下列两个条件，并加以证明：①bn＜bn+1，n∈N*；②当a为{bn}中的任意一项时，{an}中必有某一项的值为1．
已知函数f(x)=
(5-2a)x-1(x＜1)
ax(x≥1)
（a＞0，且a≠1）满足对任意x1≠x2，都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0成立，则实数a的最小值是
 
．
已知函数f(x)=5-4sin2(
π
4
+x)+2
3
cos2x，且给定条件p：x＜
π
4
或x＞
π
2
．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；     
（2）在￢p的条件下，求f（x）的值域；
（3）若条件q：-2＜f（x）-m＜2，且￢p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
（2010•崇明县二模）已知函数f(x)=5-
6
x
，数列{an}满足：a1=a，an+1=f（an），n∈N*．
（1）若对于n∈N*，都有an+1=an成立，求实数a的值；
（2）若对于n∈N*，都有an+1＞an成立，求实数a的取值范围；
（3）设数列{bn}满足b1=
3
2
，bn+1=
6
5-bn
．求证：当a为数列{bn}中的任意一项时，数列{an}必有相应一项的值为1．
精英家教网已知函数f(x)=
5-2x，x＞0
2，  x=0
-x-1， x＜0
，
（Ⅰ）求f（f（-3））及f（1-log0.253）的值；
（Ⅱ）当-5≤x＜3时，在坐标系中作出函数f（x）的图象并求值域．

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