Question

【题目】已知函数，.

（1）若在区间内单调递增，求的取值范围；

（2）若在区间内存在极大值，证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）由题意得在区间内恒成立，即在区间内恒成立，构造函数，利用导数求出最小值即可得到结果；（2）构造函数，则，由此可得出函数的单调区间，利用零点存在性定理可得函数的零点所在区间：和，则可得函数的单调性，从而得到极大值，结合条件和基本不等式即可证明结论.

（1）由题意得在区间内恒成立，

即在区间内恒成立，

令，则.

当时，，在区间内单调递减；

当时，，在区间内单调递增，故，

所以，所以的取值范围为；

（2）由（1）知当时，在区间内单调递增，则不存在极大值.

当时，，.

，令，则.

令，则，

则易知函数在区间内单调递减，在区间内单调递增.

又，，

（易证明），

故存在，使得，

存在，使得，

则当时，；当时；当时，，

故在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增，

所以当时，取得极大值，即.

由，得，，

由，得，

故，所以.