题目内容
在△ABC中，AB=3，AC边上的中线BD=| 5 |
| AC |
| AB |
（1）求AC的长；
（2）求sin（2A-B）的值．
分析：（1）根据
•
=5，
+
=
，利用平方求出AD，再求AC的长；
（2）通过数量积、正弦、余弦定理，求出cosA、sinA、sinB、cosB，把sin（2A-B）展开求出它的值．
| AC |
| AB |
| DA |
| AB |
| BD |
（2）通过数量积、正弦、余弦定理，求出cosA、sinA、sinB、cosB，把sin（2A-B）展开求出它的值．
解答：解：（1）∵
•
=5，AB=3，AC=2AD．
∴
•
=
．
+
=
，∴（
+
）2=
2．
∴|
|2+ |
2-2
•
=|
|2，
∴AD=1，AC=2．
（2）由（1）得
•
=
．可得cosA=
，∴sinA=
．
在△ABC中，BC2=AB2+AC2-2AB•ACcosA，∴BC=
．
在△ABC中，
=
即
=
可得sinB=
，∴cosB=
．
sin（2A-B）=sin2A•cosB-cos2A•sinB=2sinA•cosA•cosB-（1-2sin2A）•sinB
=2×
×
×
-（1-2×
）×
=
．
| AB |
| AC |
∴
| AD |
| AB |
| 5 |
| 2 |
| DA |
| AB |
| BD |
| DA |
| AB |
| BD |
∴|
| DA |
| AB| |
| AD |
| AB |
| BD |
∴AD=1，AC=2．
（2）由（1）得
| AD |
| AB |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 6 |
| ||
| 6 |
在△ABC中，BC2=AB2+AC2-2AB•ACcosA，∴BC=
| 3 |
在△ABC中，
| AC |
| sinB |
| BC |
| sinA |
| 2 |
| sinB |
6
| ||
|
| ||
| 9 |
4
| ||
| 9 |
sin（2A-B）=sin2A•cosB-cos2A•sinB=2sinA•cosA•cosB-（1-2sin2A）•sinB
=2×
| ||
| 6 |
| 5 |
| 6 |
4
| ||
| 9 |
| 11 |
| 36 |
| ||
| 9 |
13
| ||
| 162 |
点评：本题主要考查了正、余弦定理与解斜三角形，平面向量数量积的运算，考查计算能力，是中档题．
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