Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中，AC=BC=1，AA₁=2，∠ACB=90°，M是A₁B₁ 的中点．
（1）求证：C₁ M⊥平面ABB₁ A₁
（2）求异面直线A₁B与B₁ C所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中的几何体ABC-A₁B₁C₁ 为直三棱柱，AC=BC=1，M是A₁B₁ 的中点．结合直三棱柱的几何特征及等腰三角形三线合一的性质，我们易得C₁M⊥AA₁，C₁M⊥A₁B₁，进而结合线面垂直的判定定理，易得到答案．
（2）设BC，BB₁的中点分别为R、N连接RN，连接MN，由三角形中位线定理，及平行角定理得，∠MNR是异面直线A₁B与B₁C所成角或其补角，解三角形MNR，即可求出异面直线A₁B与B₁ C所成角的余弦值．

解答：（1）证明：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁∴AA₁⊥面A₁B₁C₁
又C₁M?A₁B₁C₁∴C₁M⊥AA₁（2分）∵A₁C₁=B₁C₁=1，M是A₁B₁的中点∴C₁M⊥A₁B₁（4分）
又AA₁∩A₁B₁=A₁∴C₁M⊥平面ABB₁A₁（6分）
（2）解：设BC，BB₁的中点分别为R、N连接RN，连接MN，则MN∥A₁B，NR∥B₁C
∴∠MNR是异面直线A₁B与B₁C所成角或其补角（9分）
设点P为AB的中点，连接MP，MR
在Rt△MPR中，MR=

22+( 1 2 )2

=
在△MNR中，MN=A₁B=

6

2

，RN=

1

2

B₁C=

5

2

，MR=

17

2

由余弦定理得：
cos∠MNR=

MN2+RN2-MR2

2MN×RN

=

( 6 2 )2+( 5 2 )2-( 17 2 )2

2× 6 2 × 5 2

=-

30

10

（11分）
∴异面直线A₁B与B₁C所成角的余弦值为

30

10

（12分）

点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的判定，熟练掌握直三棱柱的几何特征，结合已知中其它条件寻找判断线面垂直的相关条件是解答本题的关键．