Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，以顶点A为球心，

2 3

3

为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于

5 3

6

π

．

Answer 1

分析：球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上；另一类在不过顶点A的三个面上，且均为圆弧，分别求其长度可得结果．

解答：解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA₁B₁B、面ABCD和面AA₁D₁D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB₁C₁C、面CC₁D₁D和面A₁B₁C₁D₁上．在面AA₁B₁B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为AE=

2 3

3

，AA₁=1，则∠A1AE=

π

6

．同理∠BAF=

π

6

，所以∠EAF=

π

6

，故弧EF的长为

2 3

3

•

π

6

=

3

9

π，而这样的弧共有三条．在面BB₁C₁C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为

3

3

，∠FBG=

π

2

，所以弧FG的长为

3

3

•

π

2

=

3

6

π．这样的弧也有三条．
于是，所得的曲线长为3×

3

9

π+3×

3

6

π=

5 3 π

6

．
故答案为：

5 3

6

π

点评：本题为空间几何体交线问题，找到球面与正方体的表面相交所得到的曲线是解决问题的关键，属基础题．