Question

已知函数f(n)>0(nÎN*)，且对一切自然数n，都有f²(n)£f(n)-f(n+1)，求证：。

Answer 1

答案：
解析：

证明：∵ f(n)>0，f2(n)£f(n)-f(n+1)，∴ f(n)[1-f(n)]³f(n+1)>0，f(n)<1。 又∵ f(n)-f(n+1)³f 2(n)>0，∴ f(n)>f(n+1)。 （1）当n=1时，∵ f(1)<1，∴ 不等式成立。 （2）假设n=k时，不等式成立，即，则n=k+1时。 ∵ f(k+1)£f(k)[1-f(k)]<f(k)[1-f(k+1)]。 ∴ ，∴ n=k+1时，不等式成立。 ∴ 对nÎN*，均有。

提示：

判断f(n)的增减性。