Question

【题目】已知函数f（x）=e﹣x﹣ ．
（Ⅰ）证明：当x∈[0，3]时， ．
（Ⅱ）证明：当x∈[2，3]时， ．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）要证 ，也即证ex≤1+9x．

令F（x）=ex﹣9x﹣1，则F′（x）=ex﹣9．令F′（x）＞0，则x＞2ln3．

∴当0≤x＜2ln3时，有F′（x）＜0，∴F（x）在[0，2ln3]上单调递减，

2ln3＜x≤3时，有F′（x）＞0，∴F（x）在[2ln3，3]上单调递增．

∴F（x）在[0，3]上的最大值为max{F（0），F（3）}．

又F（0）=0，F（3）=e3﹣28＜0．

∴F（x）≤0，x∈[0，3]成立，即ex≤1+9x，x∈[0，3]成立．

∴当x∈[0，3]时， ．

（Ⅱ）由（I）得：当x∈[2，3]时，f（x）= ≥ ，

令 ，

则t′（x）=﹣（1+9x）﹣29+（1+x）﹣2

=

=

= ≥0，x∈[2，3]．

∴t（x）在[2，3]上单调递增，即t（x）≥t（2）=﹣ =﹣ ，x∈[2，3]．

∴f（x）＞﹣ 得证．

下证f（x）＜0．即证ex＞x+1，

令h（x）=ex﹣（x+1），则h′（x）=ex﹣1＞0，∴h（x）在[2，3]上单调递增，

∴h（x）=ex﹣（x+1）≥e2﹣3＞0，得证．

∴当x∈[2，3]时，

【解析】（Ⅰ）要证 ，即证ex≤1+9x，令F（x）=ex﹣9x﹣1，则F′（x）=ex﹣9，推导出F（x）在[0，3]上的最大值为max{F（0），F（3）}．由此能证明当x∈[0，3]时， ．

（Ⅱ）当x∈[2，3]时，f（x）= ≥ ，令 ，则t′（x）= ≥0，x∈[2，3]，由此能证明f（x）＞﹣ ，证明f（x）＜0，即证ex＞x+1，令h（x）=ex﹣（x+1），则h′（x）=ex﹣1＞0，由此能证明h（x）=ex﹣（x+1）≥e2﹣3＞0．

【考点精析】掌握函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．