Question

如图：四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，PB∥平面EAC．
（1）求征：PE=ED；
（2）若AD=AB，求二面角A-PC-D的大小．

Answer 1

分析：（1）连接BD交AC于O，连接EO，则O为BD的中点，利用PB∥平面EAC，可得线线平行，从而可得PE=ED．
（2）在PC上取点M使得PM=

1

4

PC，连接AM，证明∠AME为二面角A-PC-D的平面角，在Rt△AEM中，即可求二面角A-PC-D的大小．

解答：解：（1）连接AC，交BD于点O，连接EO，
∵PB∥平面EAC，EO?平面EAC，EO?平面PDB，
∴EO∥PB，
∵四棱锥P-ABCD的底面是矩形，
∴O是AC的中点，
∴E是PD的中点，
∴PE=ED．
（2）解：在PC上取点M使得PM=

1

4

PC．
由于正三角形PAD及矩形ABCD，且AD=AB，所以PD=AD=AB=DC
所以在等腰直角三角形DPC中，EM⊥PC，
连接AM，因为AE⊥平面PCD，所以AM⊥PC．
所以∠AME为二面角A-PC-D的平面角．
在Rt△AEM中，tan∠AME=

AE

ME

=

3 2

1 2 × 2 2

=

6

．
即二面角A-PC-D的正切值为

6

．
∴二面角A-PC-D的大小为arctan

6

．

点评：本题主要考查线面平行，线面垂直的证明方法．二面角的基本求法．考查学生的空间想象能力，识图的能力，严密的逻辑思维能力．