Question

（2011•重庆二模）如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F(-2

3

，0)，上下顶点分别为A，B，已知△AFB是等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F作倾斜角为α的直线l交椭圆C于M、N两点，求证：|MN|=

8

4-3cos2α

．

Answer 1

分析：（I）利用左焦点为F(-2

3

，0)，上下顶点分别为A，B，△AFB是等边三角形，求出几何量，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，计算|MN|，即可得到结论．

解答：（I）解：由题意，c=2

3

，

3

b=c，∴b=2
∴a=

b2+c2

=4
∴椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

14

=1；
（Ⅱ）证明：当α≠

π

2

时，设k=tanα，l：y=k(x+2

3

)
代入

x2

16

+

y2

14

=1，可得（1+4k²）x²+16

3

k2x+48k²-16=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

16 3 k2

1+4k2

，x₁x₂=

48k2-16

1+4k2

∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

8 1+k2

1+4k2

∴|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

8(1+k2)

1+4k2

=

8(1+tan2α)

1+4tan2α

=

8

4-3cos2α

当α=

π

2

时，|MN|=2，

8

4-3cos2α

=2，∴|MN|=

8

4-3cos2α

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，属于中档题．