题目内容
17、已知x＞-1，n≥2且n∈N*，比较（1+x）n与1+nx的大小．
分析：先构造函数f（x）=（1+x）n-（1+nx），研究函数f（x）在（-1，+∞）上单调性，求出函数的最小值，使最小值与零比较即可．
解答：解：设f（x）=（1+x）n-（1+nx），
则f'（x）=n（1+x）n-1-n=n[（1+x）n-1-1]．
由f'（x）=0得x=0．
当x∈（-1，0）时，f'（x）＜0，
f（x）在（-1，0）上递减．
当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上递增．
∴x=0时，f（x）最小，最小值为0，即f（x）≥0．
∴（1+x）n≥1+nx．
则f'（x）=n（1+x）n-1-n=n[（1+x）n-1-1]．
由f'（x）=0得x=0．
当x∈（-1，0）时，f'（x）＜0，
f（x）在（-1，0）上递减．
当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上递增．
∴x=0时，f（x）最小，最小值为0，即f（x）≥0．
∴（1+x）n≥1+nx．
点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，最值问题是常考的知识点，属于基础题．
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