Question

直线l与双曲线C：交于A、B两点，M是线段AB的中 点，若l与OM （O是原点）的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为（ ）
A．2
B．
C．3
D．

Answer 1

【答案】分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由M是线段AB的中点，知M（），把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别代入双曲线C：，得，故b²（x₁+x₂）（x₁-x₂）-a²（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，直线l的斜率，由M（），O（0，0），知OM的斜率，由l与OM的斜率的乘积等于1，知a=b，由此能求出此双曲线的离心率．
解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵M是线段AB的中点，∴M（），
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别代入双曲线C：，
得，
∴b²（x₁+x₂）（x₁-x₂）-a²（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴直线l的斜率，
∵M（），O（0，0），
∴OM的斜率，
∵l与OM的斜率的乘积等于1，
∴•==1，
∴a=b，
∴此双曲线的离心率e=．
故选B．
点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意点差法的合理运用．