Question

过点P（2，4）的直线l与双曲线C：

x2

4

-

y2

8

=1交于A、B两点，且

OA

+

OB

=2

OP

．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）过线段AB上的点作曲线y=x²+8x+12的切线，求切点横坐标的取值范围；
（Ⅲ）若过P的另一直线l₁与双曲线交于C、D两点，且

CD

•

AB

=0，则∠ACD=∠ABD一定成立吗？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）点斜式设出直线方程y-4=k（x-2），联立直线和双曲线的方程．再由

OA

+

OB

=2

OP

，即P是AB的中点．由中点公式即可求得k，得到直线方程．
（2）由导数的几何意义，设出切点，写出切线方程．联立方程，解得切线方程和直线l的交点，再由AB的范围算出切点横坐标的范围．
（3）由CD和AB垂直，写出直线l₁的方程．联立l₁和双曲线的方程，解出C，D的坐标．从而进一步判断AC，AD及BC，BD的关系．再由A，B，C，D四点共圆得证．

解答：解：（Ⅰ）由题意，直线l的斜率一定存在，可设直线l的方程为y-4=k（x-2），
则由

x2 4 - y2 8 =1 y-4=k(x-2).

得（2-k²）x²+（4k²-8k）x-4k²+16k-24=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

OA

+

OB

=2

OP

，知P为AB中点，
所以x₁+x₂=4，y₁+y₂=8．
由x1+x2=

4k2-8k

k2-2

=4，得k=1．
所以直线l的方程为y=x+2．
（Ⅱ）由y=x²+8x+12，得y'=2x+8．
设（x₀，y₀）为曲线y=x²+8x+12上一点，
过（x₀，y₀）的切线方程为y-y₀=（2x₀+8）（x-x₀），
即y=（2x₀+8）（x-x₀）+x₀²+8x₀+12．
与l方程联立得

y=(2x0+8)(x-x0)+ x 2 0 +8x0+12 y=x+2

解得x=

x 2 0 -10

2x0+7

．
又由

x2 4 - y2 8 =1 y=x+2.

解得A（-2，0）、B（6，8）．
∴x=

x 2 0 -10

2x0+7

∈[-2，6]．
故6-2

22

≤x0≤6+2

22

．
（Ⅲ）∠ACD=∠ABD一定成立．
由点P（2，4）和直线l得l₁：x+y=6．
联立方程组

x2 4 - y2 8 =1 y=-x+6

得C（-6+4

5

，12-4

5

），D（-6-4

5

，12+4

5

）．
所以

AC

•

AD

=0，即

AC

⊥

AD

．由对称性可知，

BC

⊥

BD

．
所以A、B、C、D四点共圆，所以∠ACD=∠ABD．

点评：解析几何和导数的考查一直是近几年高考的必考知识点，本题就是几何和导数的简单综合．