Question

函数 f（x）=cosx，（x∈R）．
（1）若函数g（x）=f²（x）+sinxcosx，求函数g（x）的单调递减区间；
（2）若h（x）=f（2x）+asinx，在x∈R上的最大值为1，求a的值．

Answer 1

分析：（1）化简g（x）的解析式为

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

，由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，解得x的范围即为所求．
（2）化简h（x）的解析式为-2(sinx-

a

4

)2+1+

a2

8

，分

a

4

＞1、1≤

a

4

≤1、

a

4

＜-1三种情况分别根据其最大值
求出a的值．

解答：解：（1）g（x）=cos²x+sinxcosx=

1+cos2x

2

+

1

2

sin2x=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，解得

π

8

≤x≤π+

5π

8

，k∈Z，
故函数g（x）的单调递减区间是 [kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z．
（2）h（x）=cos2x+asinx=1-2sin²x+asin?x=-2(sinx-

a

4

)2+1+

a2

8

，
由于sinx∈[-1，1]，h（x）的最大值为1，则
①若

a

4

＞1，即a＞4时，则sinx=1时有最大值，∴-1+a=1，∴a=2，（舍去）．
②若-1≤

a

4

≤1，即-4≤a≤4时，则sinx=

a

4

有最大值，1+

a2

8

=1，∴a=0，合乎题意．
③若

a

4

＜-1，即a＜-4时，怎sinx=-1有最大值．-1-a=1⇒a=-2，（舍去）．
综上，a=0．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性及最值的求法，体现了分类讨论的数学思想．