题目内容

已知动点P与双曲线x²-y²=1的两个焦点F₁，F₂的距离之和为定值，且cos∠F₁PF₂的最小值为- $数学公式$ ．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设M（0，-1），若斜率为k（k≠0）的直线l与P点的轨迹交于不同的两点A、B，若要使|MA|=|MB|，试求k的取值范围．

解：（1）∵x²-y²=1，∴c= $\text{[math]}$ ．设|PF₁|+|PF₂|=2a（常数a＞0），2a＞2c=2 $\text{[math]}$ ，∴a＞ $\text{[math]}$
由余弦定理有cos∠F₁PF₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -1
∵|PF₁||PF₂|≤（ $\text{[math]}$ ）²=a²，∴当且仅当|PF₁|=|PF₂|时，|PF₁||PF₂|取得最大值a²．
此时cos∠F₁PF₂取得最小值 $\text{[math]}$ -1，由题意 $\text{[math]}$ -1=- $\text{[math]}$ ，解得a²=3，∴b²=a²-c²=3-2=1
①②
∴P点的轨迹方程为 $\text{[math]}$ +y²=1．
（2）设l：y=kx+m（k≠0），则由， $\text{[math]}$ 将②代入①得：（1+3k²）x²+6kmx+3（m²-1）=0 （*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则AB中点Q（x₀，y₀）的坐标满足：x₀= $\text{[math]}$
即Q（- $\text{[math]}$ ）∵|MA|=|MB|，∴M在AB的中垂线上，
∴k_lk_AB=k• $\text{[math]}$ =-1，解得m= $\text{[math]}$ …③又由于（*）式有两个实数根，知△＞0，
即（6km）²-4（1+3k²）[3（m²-1）]=12（1+3k²-m²）＞0 ④，将③代入④得
12[1+3k²-（ $\text{[math]}$ ）²]＞0，解得-1＜k＜1，由k≠0，∴k的取值范围是k∈（-1，0）∪（0，1）．
分析：（1）根据椭圆定义可知，所求动点P的轨迹为以F₁，F₂为焦点的椭圆，再结合余弦定理求出椭圆中的a，b的值即可．
（2）设出A，B点的坐标，以及直线AB的方程，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用斜率公式及根的判别式即可求得k的取值范围，从而解决问题．
点评：本体考查了定义法求轨迹方程，以及直线与圆位置关系的应用．关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理进行求解．