Question

已知函数f(x)=2

3

sin(x-3π)sin(x-

π

2

)+2sin2(x+

5π

2

)-1，x∈R
（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值；
（2）若f(x0)=

6

5

，x0∈[

π

4

，

π

2

]，求cos2x₀的值．

Answer 1

分析：（1）根据三角函数的诱导公式、二倍角公式与辅助角公式，化简得f(x)=2sin(2x+

π

6

)，从而可得f（x）的最小正周期T=π，再利用正弦函数的图象与性质，即可算出f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值；
（2）由f(x0)=

6

5

，利用f（x）的表达式解出sin(2x0+

π

6

)=

3

5

，根据同角三角函数的关系算出cos(2x0+

π

6

)=-

4

5

，再进行配角：2x0=(2x0+

π

6

)-

π

6

，利用两角和的余弦公式加以计算，可得cos2x₀的值．

解答：解：（1）∵sin（x-3π）=-sinx，sin（x-

π

2

）=-cosx，sin（x+

5π

2

）=cosx，
∴f(x)=

3

(2sinxcosx)+(2cos2x-1)
=

3

sin2x+cos2x=2(sin2x•

3

2

+cos2x•

1

2

)=2sin(2x+

π

6

)
由此可得f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π．
∵当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
因此，当2x+

π

6

=

π

2

即x=

π

6

时，f（x）的最大值为2；
当2x+

π

6

=

7π

6

即x=

π

2

时，f（x）的最小值为-1．
（2）由（1）可知f(x0)=2sin(2x0+

π

6

)，
∵f(x0)=

6

5

，
∴sin(2x0+

π

6

)=

3

5

由x0∈[

π

4

，

π

2

]，可得2x0+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]，
∴cos(2x0+

π

6

)=-

1-sin2(2x0+ π 6 )

=-

4

5

可得cos2x0=cos[(2x0+

π

6

)-

π

6

]=cos(2x0+

π

6

)cos

π

6

+sin(2x0+

π

6

)sin

π

6

=

3-4 3

10

．

点评：本题将函数f（x）的表达式化简，求函数的周期与最值，并依此求特殊的三角函数值．着重考查了三角函数的诱导公式、三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．