题目内容

已知二次函数f （x）=x²+mx+n对任意x∈R，都有f （-x）=f （2+x）成立，设向量 $数学公式$ =（ sinx，2 ）， $数学公式$ =（2sinx， $数学公式$ ）， $数学公式$ =（ cos2x，1 ）， $数学公式$ =（1，2），
（Ⅰ）求函数f （x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，π]时，求不等式f （ $数学公式$ • $数学公式$ ）＞f （ $数学公式$ • $数学公式$ ）的解集．

解：（Ⅰ）设f（x）图象上的两点为A（-x，y₁）、B（2+x，y₂），
因为 $\text{[math]}$ =1
f （-x）=f （2+x），所以y₁=y₂
由x的任意性得f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴x≥1时，f（x）是增函数；x≤1时，f（x）是减函数．
（Ⅱ）∵ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =（sinx，2）•（2sinx， $\text{[math]}$ ）=2sin²x+1≥1，
$\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =（cos2x，1）•（1，2）=cos2x+2≥1，
∵f（x）在是[1，+∞）上为增函数，
∴f （ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）＞f （ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）?f（2sin²x+1）＞f（cos2x+2）
?2sin²x+1＞cos2x+2?1-cos2x+1＞cos2x+2
?cos2x＜0?2kπ+ $\text{[math]}$ ＜2x＜2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z
?kπ+ $\text{[math]}$ ＜x＜kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z
∵0≤x≤π，∴ $\text{[math]}$ ＜x＜ $\text{[math]}$
综上所述，不等式f （ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）＞f （ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）的解集是：{ x| $\text{[math]}$ ＜x＜ $\text{[math]}$ }．
分析：（Ⅰ）由条件f （-x）=f （2+x）可知f（x）的图象关于直线x=1对称，又由于函数图象开口向上，故可求函数f （x）的单调区间；
（Ⅱ）利用函数的单调性将函数符号脱去，从而转化为解三角不等式．
点评：本题主要考查函数的对称性，利用函数的单调性，求解三角不等式，有一定的综合性．