Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n与通项a_n之间满足关系S_n=

1

2

-

1

2

an
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设f（x）=log₃x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+L+f（a_n），T_n=

1

b1

+

1

b2

+L+

1

bn

，求T₂₀₁₂
（III）若c_n=a_n•f（a_n），求{c_n}的前n项和a_n．

Answer 1

分析：（I）n=1时，a₁=S₁，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，由此可得数列{a_n}是首项为

1

3

，公比为

1

3

的等比数列，故可求数列{a_n}的通项公式；
（II）由已知可得：f（a_n）=-n，则b_n=-

n(n+1)

2

，所以

1

bn

=-2(

1

n

-

1

n+1

），利用叠加法可求T₂₀₁₂的值；
（III）由题意：c_n=a_n•f（a_n）=-n×(

1

3

)n，利用错位相减法可求{c_n}的前n项和．

解答：解：（I）n=1时，a₁=S₁=

1

2

-

1

2

a₁，∴a₁=

1

3

                            （1分）
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

-

1

2

an-

1

2

+

1

2

an-1，∴a_n=

1

3

a_n-1，
即数列{a_n}是首项为

1

3

，公比为

1

3

的等比数列                 （3分）
故a_n=(

1

3

)n                                           （4分）
（II）由已知可得：f（a_n）=-n，则b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）=-1-2-…-n=-

n(n+1)

2

（5分）
∴

1

bn

=-2(

1

n

-

1

n+1

）                                （6分）
∴T_n=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=-2（1-

1

n+1

）
∴T₂₀₁₂=-

4024

2013

      （8分）
（III）由题意：c_n=a_n•f（a_n）=-n×(

1

3

)n，故{c_n}的前n项和u_n=-[1×(

1

3

)1+2×(

1

3

)2+…+n×(

1

3

)n]①
∴

1

3

u_n=-[1×(

1

3

)2+2×(

1

3

)3+…+n×(

1

3

)n+1]②
①-②可得：

2

3

u_n=-[(

1

3

)1+(

1

3

)2+(

1

3

)3+…+(

1

3

)n-n×(

1

3

)n+1]（12分）
∴

2

3

u_n=-

1

2

[1-(

1

3

)n]+n×(

1

3

)n+1
∴u_n=-

3

4

+

3

4

×(

1

3

)n+

3

2

n×(

1

3

)n+1                      （14分）

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，确定数列的通项，掌握求和的方法是关键．