Question

用平行于四面体ABCD的一组相对棱AB、CD的平面截此四面体，如图所示．

(1)求证所得截面MNPQ是平行四边形；

(2)如果AB＝CD＝a，求证四边形MNPQ的周长为定值．

Answer 1

　(1)∵AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，

∴AB∥MN，同理可得PQ∥AB.

∴由平行公理可知，MN∥PQ.

同理可得MQ∥NP.

∴截面四边形MNPQ为平行四边形．

(2)∵由(1)可知，MN∥AB，∴＝，

∴＝＝.

又MQ∥CD，∴＝，

∴＝.

又AB＝CD＝a，∴MN＋MQ＝a，

∴平行四边形MNPQ的周长为2(MN＋MQ)＝2a，

∴四边形MNPQ的周长为定值.