Question

已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量

.

e1

=

.

1   1

.

，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15）．
（Ⅰ）求矩阵M．
（Ⅱ）求M的另一个特征值和其所对应的一个特征向量．

Answer 1

分析：（1）先设矩阵M=

a b c d

，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量

e1

及矩阵M对应的变换将点（-1，2）换成（9，15）．得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M；
（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ²-10λ+16，从而求得另一个特征值，设矩阵M的另一个特征向量是

e2

=

x   y

，解得特征向量

e2

的坐标之间的关系．

解答：解：（1）设M=

a b c d

，则

a b c d

 

1 1

=3

1 1

=

3 3

，故

a+b=3 c+d=3.

a b c d

 

-1 2

=

9 15

，故

-a+2b=9 -c+2d=15.

联立以上两方程组解得a=-1，b=4，c=-3，d=6，
故M=

-1 4 -3 6

．
（2）由（1）知M=

-1 4 -3 6

，则矩阵M的特征多项式为f(λ)=

.

λ+1  -4   3 λ-6

.

=（λ+1）（λ-6）+12=λ²-5λ+6
令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为2与3．
当λ=2时，

(λ+1)x-4y=0 3x+(λ-6)y=0

，故3x-4y=0
∴矩阵M的属于特征值2的一个特征向量为

4   3

．

点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及矩阵M的特征值及其对应的特征向量． 关键是写出特征多项式，从而求得特征值．