Question

已知函数f（x）=（x-a）|x-2|，g（x）=2^x+x-2，其中a∈R．
（1）写出f（x）的单调区间（不需要证明）；
（2）如果对任意实数m∈[0，1]，总存在实数n∈[0，2]，使得不等式f（m）≤g（n）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用绝对值的定义，去掉绝对值，将函数f（x）转化成分段函数，再对分段函数的每一段研究它的单调性，即可确定f（x）的单调区间；
（2）将问题转化为f（x）在[0，1]上的最大值小于等于g（x）在[0，2]上的最大值，即分别求f（x）在[0，1]上的最大值和g（x）在[0，2]上的最大值．对于g（x）易判断出它的单调性，即可求得g（x）在[0，2]上的最大值；对于f（x），结合（1）的结论，分类讨论即可求得f（x）在[0，1]上的最大值．列出不等式，即可求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=（x-a）|x-2|，
∴f(x)=

(x-a)(x-2) ， x≥2 -(x-a)(x-2) ， x＜2

，
①当a=2时，f（x）的递增区间是（-∞，+∞），f（x）无减区间； 
②当a＞2时，f（x）的递增区间是（-∞，2），(

a+2

2

，+∞)，f（x）的递减区间是(2，

a+2

2

)；
③当a＜2时，f（x）的递增区间是(-∞，

a+2

2

)，（2，+∞），f（x）的递减区间是(

a+2

2

，2)．
（2）∵对任意实数m∈[0，1]，总存在实数n∈[0，2]，使得不等式f（m）≤g（n）成立，
∴f（x）在[0，1]上的最大值小于等于g（x）在[0，2]上的最大值，
当x∈[0，2]时，g（x）=2^x+x-2单调递增，
∴g（x）_max=g（2）=4．
当x∈[0，1]时，f（x）=-（x-a）（x-2）=-x²+（2+a）x-2a，
①当

a+2

2

≤0，即a≤-2时，f（x）_max=f（0）=-2a，
∴g（x）_max≤f（x）_max，即-2a≤4，解得a≥-2，
∴a=-2；                         
②当0＜

a+2

2

≤1，即-2＜a≤0时，f（x）_max=f(

a+2

2

)=

a2-4a+4

4

，
∴g（x）_max≤f（x）_max，即

a2-4a+4

4

≤4，解得-2≤a≤6，
∴-2＜a≤0；           
③当

a+2

2

＞1，即a＞0时，f（x）_max=f（1）=1-a，
∴g（x）_max≤f（x）_max，即1-a≤4，解得a≥-3，
∴a＞0．
综合①②③，实数a的取值范围是[-2，+∞）．

点评：本题考查了分段函数的性质，主要考查了分段函数的单调性和最值的求解．对于分段函数的问题，一般选用分类讨论和数形结合的数学思想方法进行研究．属于中档题．