题目内容
设a＞0，函数f(x)=x+
， g(x)=x-lnx，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围为
| a | x |
[e-2，+∞）
[e-2，+∞）
．分析：求导函数，分别求出函数f（x）的最小值，g（x）的最大值，进而可建立不等关系，即可求出a的取值范围．
解答：解：求导函数，可得g′（x）=1-
，x∈[1，e]，g′（x）≥0，
∴g（x）max=g（e）=e-1
f′(x)=1-
，令f'（x）=0，
∵a＞0，x=±
当0＜a＜1，f（x）在[1，e]上单调增，
∴f（x）min=f（1）=1+a≥e-1，∴a≥e-2；
当1≤a≤e2，f（x）在[1，
]上单调减，f（x）在[
，e]上单调增，
∴f（x）min=f（
）=2
≥e-1 恒成立；
当a＞e2时 f（x）在[1，e]上单调减，
∴f（x）min=f（e）=e+
≥e-1 恒成立
综上a≥e-2
故答案为：[e-2，+∞）
| 1 |
| x |
∴g（x）max=g（e）=e-1
f′(x)=1-
| a |
| x2 |
∵a＞0，x=±
| a |
当0＜a＜1，f（x）在[1，e]上单调增，
∴f（x）min=f（1）=1+a≥e-1，∴a≥e-2；
当1≤a≤e2，f（x）在[1，
| a |
| a |
∴f（x）min=f（
| a |
| a |
当a＞e2时 f（x）在[1，e]上单调减，
∴f（x）min=f（e）=e+
| a |
| e |
综上a≥e-2
故答案为：[e-2，+∞）
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，解题的关键是将对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，转化为对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x）min≥g（x）max．
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