Question

如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）

Answer 1

分析：连接OC，由CD∥OB知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．

解答：解：[法一]设该扇形的半径为r米，连接CO．
由题意，得CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=60°
在△CDO中，CD²+OD²-2CD•OD•cos60°=OC²
即，5002+(r-300)2-2×500×(r-300)×

1

2

=r2
解得r=

4900

11

≈445（米）
答：该扇形的半径OA的长约为445米．

[法二]连接AC，作OH⊥AC，交AC于H，
由题意，得CD=500（米），AD=300（米），∠CDA=120°
在△CDO中，AC²=CD²+AD²-2•CD•AD•cos120°=5002+3002+2×500×300×

1

2

=7002．
∴AC=700（米）．（6分）cos∠CAD=

AC2+AD2-CD2

2•AC•AD

=

11

14

．
在直角△HAO中，AH=350（米），cos∠HAO=

11

14

，
∴OA=

AH

cos∠HAO

=

4900

11

≈445（米）．
答：该扇形的半径OA的长约为445米．

点评：本题主要考查用余弦定理求三角形边长．