Question

（2012•温州一模）已知函数f（x）=（2x+a）•e^x（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的极小值；
（2）对区间[-1，1]内的一切实数x，都有-2≤f（x）≤e²成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，即可求出函数f（x）的极小值；
（2）分类讨论，求出函数在区间[-1，1]内的最大值与最小值，根据-2≤f（x）≤e²成立，即可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）f′（x）=（2x+a+2）•e^x，
当x＜-

a

2

-1时，f′（x）＜0，当x＞-

a

2

-1时，f′（x）＞0，
∴函数在(-∞，-

a

2

-1)上为减函数，在(-

a

2

-1，+∞)上为增函数，
∴x=-

a

2

-1时，函数取得极小值，极小值为f(-

a

2

-1)=-2e

a

2

-1；
（2）由（1）知-

a

2

-1≤-1，即a≥0时，f（x）在[-1，1]上为增函数
∴f（x）_max=f（1），f（x）_min=f（-1）
∵对区间[-1，1]内的一切实数x，都有-2≤f（x）≤e²成立，
∴

f(-1)≥-2 f(1)≤e2

∴

(a-2)e-1≥-2 (a+2)e≤e2

∴0≤a≤e-2
-

a

2

-1≥1，即a≤-4时，f（x）在[-1，1]上为减函数
∴f（x）_max=f（-1），f（x）_min=f（1）
∵对区间[-1，1]内的一切实数x，都有-2≤f（x）≤e²成立，
∴

f(1)≥-2 f(-1)≤e2

∴

(a+2)e≥-2 (a-2)e-1≤e2

，无解；
-1＜-

a

2

-1＜1，即-4＜a＜0时，f（x）在[-1，-

a

2

-1）上为减函数，在[-

a

2

-1，1）上为增函数
∴f（x）_max={f（-1），f（1）}，f（x）_min=f(-

a

2

-1)
∴

(a+2)e≤e2 (a-2)e-1≤e2 -2e a 2 -1≥-2

∴-2≤a＜0
综上，a的取值范围为-2≤a≤e-2．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．