Question

已知圆O：x²+y²=4内一点P（0，1），过点P的直线l交圆O于A，B两点，且满足

AP

=λ

PB

（λ为参数）．
（1）若|AB|=

14

，求直线l的方程；
（2）若λ=2，求直线l的方程；
（3）求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（I）当直线l的斜率不存在时，求得|AB|=4，不满足条件．故可设所求直线l的方程为y=kx+1代入
圆的方程整理，利用弦长公式可求得直线方程．
（II）当直线l的斜率不存在时，不满足条件，故可设所求直线l的方程为y=kx+1代入圆的方程，整理得
（1+k²）x²+2kx-3=0，（*）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂为方程（*）的两根，由

AP

=2

PB

可得x₁=-2x₂ ，则有

x1+x2=-x2= -2k 1+k2 ，(1) x1x2=-2 x 2 2 =- 3 1+k2 ，(2)

，由此解得k的值，可得直线l的方程．
（III）当直线l的斜率不存在时，由条件求得λ的值．当直线l的斜率存在时可设所求直线l的方程为y=kx+1，
代入圆的方程，整理得（1+k²）x²+2kx-3=0（*）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂为方程
（*）的两根，由

AP

=λ

PB

可得x₁=-λx₂，则有

x1+x2=(1-λ)x2= -2k 1+k2 ，(3) x1x2=-λ x 2 2 =- 3 1+k2 ，(4)

，化简可得

(1-λ)2

λ

=

4k2

3(1+k2)

，而

4k2

3(1+k2)

=

4

3

-

4

3(1+k2)

∈[0，

4

3

)，再由0≤

(1-λ)2

λ

＜

4

3

求出λ的范围．
综合可得实数λ的取值范围．

解答：解：（I）当直线l的斜率不存在时，|AB|=4，不满足条件．故可设所求直线l的方程为y=kx+1代入圆的方程，
整理得（1+k²）x²+2kx-3=0，
利用弦长公式可求得直线方程为y=x+1或y=-x+1．
（II）当直线l的斜率不存在时，

AP

=3

PB

或

AP

=

1

3

PB

，不满足条件，故可设所求直线l的方程为y=kx+1
代入圆的方程，整理得（1+k²）x²+2kx-3=0，（*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂为方程（*）的两根，
由

AP

=2

PB

可得x₁=-2x₂ ，则有

x1+x2=-x2= -2k 1+k2 ，(1) x1x2=-2 x 2 2 =- 3 1+k2 ，(2)

．
（1）²÷（2）得

1

2

=

4k2

3(1+k2)

，解得k=±

15

5

，
所以直线l的方程为y=±

15

5

x+1．
（III）当直线l的斜率不存在时，

AP

=3

PB

或

AP

=

1

3

PB

，λ=3或或λ=

1

3

，
当直线l的斜率存在时可设所求直线l的方程为y=kx+1，代入圆的方程，整理得（1+k²）x²+2kx-3=0，（*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂为方程（*）的两根，
由

AP

=λ

PB

可得x₁=-λx₂ ，
则有

x1+x2=(1-λ)x2= -2k 1+k2 ，(3) x1x2=-λ x 2 2 =- 3 1+k2 ，(4)

，（3）²÷（4）得

(1-λ)2

λ

=

4k2

3(1+k2)

，
而

4k2

3(1+k2)

=

4

3

-

4

3(1+k2)

∈[0，

4

3

)，由0≤

(1-λ)2

λ

＜

4

3

，可解得

1

3

＜λ＜3，
所以实数λ的取值范围为

1

3

≤λ≤3．

点评：本题主要考查两个向量共线的性质，直线和圆的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．