Question

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且对于定义域内的任意x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）
（1）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数数；
（2）若f（

1

3

）=-1，求满足不等式f（x）-f（

1

x-2

）＞2的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x•y）=f（x）+f（y），知f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），由此能求出f（1）．设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，故f（

x2

x1

）＞0，由此导出f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（

x2

x1

•x₁）=-f（

x2

x1

）＜0，从而能够证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）令x=

1

3

，y=1，得f（1）=0．令x=3，y=

1

3

，得f（3）=1．令x=y=3，得f（9）=2，故f（x）-f（

1

x-2

）≥f（9），f（x）≥f（

9

x-2

），由此能求出x的范围．

解答：解：（1）∵f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），
∴f（1）=0．
设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
则

x2

x1

＞1，
∴f（

x2

x1

）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（

x2

x1

•x₁）=f（x₁）-f（

x2

x1

）-f（x₁）=-f（

x2

x1

）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）令x=

1

3

，y=1得，f（

1

3

×1）=f（

1

3

）+f（1），∴f（1）=0．
令x=3，y=

1

3

得，f（1）=f（3×

1

3

）=f（3）+f（

1

3

），
∵f（

1

3

）=-1，∴f（3）=1．
令x=y=3得，f（9）=f（3）+f（3）=2，
∴f（x）-f（

1

x-2

）＞f（9），f（x）＞f（

9

x-2

）
∴

x＞0 x-2＞0 x(x-2)＞9

，
解得x＞1+

10

．
∴x的取值范围为（1+

10

，+∞）

点评：本题考查抽象函数的性质和应用，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．