Question

【题目】对于曲线：上原点之外的每一点，求证存在过的直线与椭圆相交于两点、，使与均为等腰三角形．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

首先说明，上的每一点都在的内部，从而，过的直线均与相交于两点．事实上，的方程可变形为．

去掉原点有（原点显然在椭圆内部），． ①

这表明，上的点在椭圆内部．

现取上的点（不同时为0）．过作直线 ②

代入椭圆方程得关于的二次方程

③

由①知，方程③恒有两解，对应着直线与椭圆的交点、．为使为的中点，我们令．

从而，即 ④

且． ⑤

把①、⑤代入方程③，得

有．

又由于交点

满足

⑥

最后一式为0是因为在上．而⑥式表明．

可见，对于上的点，存在过的直线，与相交于两点、，使为直角三角形且为斜边的中点．从而，与均为等腰三角形．