Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n+a_n=-

1

2

n2-

3

2

n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）设b_n=a_n+n，证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{nb_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若c_n=

bn

1-bn

，数列{c_n}的前n项和T_n，证明：T_n＜

5

3

．

Answer 1

分析：（I）讨论n=1与n≥2两种情况，利用递推作差得到数列{b_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，从而求出通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得数列{nb_n}的通项公式，然后根据通项公式的特点可知利用错位相消法进行求和即可；
（Ⅲ）先求出数列{c_n}的通项公式，然后利用放缩法转化成等比数列进行求和，从而证得结论．

解答：解：（I）∵S_n+a_n=-

1

2

n2-

3

2

n+1，
∴①当n=1时，2a₁=-1，则a₁=-

1

2

，
②当n≥2时，S_n-1+a_n-1=-

1

2

（n-1）²-

3

2

（n-1）+1，
∴2a_n-a_n-1=-n-1，即2（a_n+n）=a_n-1+n-1，
∴b_n=

1

2

b_n-1（n≥2），而b₁=a₁+1=

1

2

，
∴数列{b_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，∴b_n=(

1

2

)n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得nb_n=

n

2n

，
∴T_n=

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

  ①，
2T_n=1+

2

2

+…+

n

2n-1

  ②，
②-①得：T_n=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=1-

n+2

2n

；
（Ⅲ）由（I）知c_n=

bn

1-bn

=

1

2n-1

，
（1）当n=1时，c₁=1＜

5

3

成立； 
（2）当n≥2时，∵2ⁿ-1-（3•2^n-2）=2^n-2-1≥0，
∴c_n=

bn

1-bn

=

1

2n-1

≤

1

3•2n-2

，
∴T_n≤1+

n

i=2

1

3•2i-2

=1+

1

3

×

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=1+

2

3

[1-(

1

2

)n]＜1+

2

3

=

5

3

．

点评：本题考查了数列的递推公式，求数列的通项公式，求数列的和．解题时要注意观察所给表达式的特点，根据式子的特点判断选用何种方法进行解题．本题求通项公式选用了构造新数列的方法求解，求和时选用了错位相减法，要注意错位相减法适用于一个等差数列乘以一个等比数列的形式．属于中档题．