Question

对一个边长互不相等的凸n（n≥3）边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？

Answer 1

分析：设n边形的不同的染色方法有p_n种，由题意得p₃=

A

3 3

=6，根据当n≥4时，pn=3×2n-1-pn-1，数列{Pn-2n}为公比为-1的等比数列，这样可求得Pn-2n的通项公式，从而求得P_n．

解答：解：设n边形的不同的染色方法有p_n种．易知三角形的染色方法p₃=

A

3 3

=6．       

当n≥4时，首先，对于边a₁，有3种不同的染法，由于边a₂的颜色与边a₁的颜色不同，
∴对边a₂有2种不同的染法，类似地，对边a₃，…，边a_n-1均有2种染法．对于边a_n，用与边a_n-1不同的2种颜色染色，
但是，这样也包括了它与边a₁颜色相同的情况，
而边a₁与边a_n颜色相同的不同染色方法数就是凸n-1边形的不同染色方法数的种数p_n-1，
∴pn=3×2n-1-pn-1，pn-2n=-(pn-1-2n-1)．数列{Pn-2n}为公比为-1的等比数列，
∴pn-2n=(-1)n-3(p3-23)=(-1)n-2•2，
∴pn=2n+(-1)n•2，n≥3．
综上所述，不同的染色方法数为pn=2n+(-1)n•2．

点评：解答本题的关键是利用n边形的染色方法数与n-1边形的染色方法数的关系，构造等比数列求P_n．