Question

（本题满分12分）

已知二次函数和一次函数，其中、、满足

(1) 求证:两函数的图象交于不同的两点A、B；

(2) 求证:方程的两根都小于2；

(3)由 (1)知两函数的图象交于不同的两点A、B，求线段AB在x轴上的射影A₁B₁的长的取值范围。

Answer 1

(1)证明由消去y得ax²+2bx+c=0

Δ=4b²－4ac=4(－a－c)²－4ac=4(a²+ac+c²)

∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0

∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点     …………………………4分

  （2）由 (1)知方程有两根，  即

令

函数的图象的对称轴为

所以方程的两根均小于2 ，即的两根均小于2。………8分

 (3)解设方程ax²+bx+c=0的两根为和,则

|A₁B₁|²=(x₁－x₂)²=(x₁+x₂)²－4x₁x₂

 

∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0     ∴a>－a－c>c,解得

∵的对称轴方程是，  时，为减函数

∴|A₁B₁|²∈(3,12),故|A₁B₁|∈()…………………………12分