Question

下列命题
①x，y＞0时，

x

y

+

2y

x

≥2          
②函数f(x)=

x2+2

x2+1

的最小值为2
③lgx+

1

lgx

≥2                   
④若正数a、b满足a+b=1，则(a+

1

a

)(b+

1

b

)≥4
其中一定成立的是

①②④

（只需填写序号）

Answer 1

分析：本题考查基本不等式的应用，根据使用条件：“一正，二定，三相等”，即可判断出每个命题是否成立．

解答：解：①∵x，y＞0，∴由基本不等式得

x

y

+

2y

x

≥2

x y 2y x

=2

2

＞2（当且仅当

x

y

=

2

时取“=”号）．由此可知①一定成立．
②∵f（x）=

x2+2

x2+1

=

x2+1

+

1

x2+1

≥2，当且仅当

x2+1

=

1

x2+1

，即x=0时取“=”号，因此函数f（x）的最小值为2．
③当lgx＜0时，lgx+

1

lgx

＜0，故③不成立．
④∵a＞0，b＞0，∴（a+

1

a

）(b+

1

b

)≥2

a× 1 a

×2

b× 1 b

=4，当且仅当

a= 1 a b= 1 b

，即a=b=1时取“=”号．
又∵a+b=1，∴“=”号不成立．∴（a+

1

a

）（b+

1

b

）＞4，故④一定成立．
故一定成立的是①②④．

点评：本题主要考查基本不等式，特别要注意使用条件：一正，二定，三相等．