Question

已知函数f（x）=log₃（x+1）+log₃（1-x），
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）写出函数f（x）的单调区间．（不必写出解答过程！）

Answer 1

分析：（1）根据对数函数的真数要大于0，列出关于x的不等式组，求解不等式组，即可求得函数f（x）的定义域；
（2）结合（1）的定义域，判断f（-x）与f（x）的关系，再根据奇函数和偶函数的定义进行判断，从而可以判断函数为偶函数；
（3）函数f（x）化简可得f（x）=log₃（1-x²），故f（x）为复合函数，内层函数t=1-x²，外层函数y=log₃t，根据复合函数单调性的判断规则，即“同增异减”，即可求得函数f（x）的单调区间．

解答：解：（1）∵函数f（x）=log₃（x+1）+log₃（1-x），
∴

x+1＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1，
∴函数f（x）的定义域为（-1，1）；
（2）函数f（x）为偶函数，
证明：由（1）可知，f（x）的定义域为（-1，1）关于原点对称，
∵f（-x）=log₃（1-x）+log₃（1+x）=f（x），
∴函数f（x）为偶函数；
（3）∵f（x）=log₃（x+1）+log₃（1-x）=log₃（1-x²），
∴函数f（x）是由内层函数t=1-x²，外层函数y=log₃t复合而成的一个复合函数，
∵t=1-x²在（-1，0]上单调递增，在（0，1]上单调递减，
又∵函数y=log₃t在（0，+∞）上是单调递增函数，
根据复合函数的单调性，
∴函数f（x）的单调增区间（-1，0]，单调减区间[0，1）．

点评：本题考查了函数定义域及其求法，函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明．对于函数的定义域是指使得函数的解析式有意义的取值范围，要熟悉基本初等函数的定义域以及常见函数的限制条件．奇偶性的判断一般应用奇偶性的定义和图象，要注意先考虑函数的定义域是否关于原点对称．函数单调性的证明一般选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．属于中档题．